Giuseppe Savaré
Anno Accademico 2000/2001
La capacità di utilizzare con competenza e originalità alcuni basilari "strumenti" matematici della teoria del segnale, quali
l'analisi di Fourier (serie e trasformate), la trasformazione di Laplace, la trasformata "zeta",
e la comprensione di come modellizzare
i fenomeni di tipo impulsivo, la comparsa e la propagazione di singolarità, la permanenza o meno di certe proprietà in situazioni "limite",
richiedono la conoscenza approfondita, di alcune delle più interessanti teorie matematiche che si sono sviluppate dalla fine del secolo scorso fino ai nostri giorni, e che hanno affrontato in profondità questi problemi. Si tratta della teoria delle funzioni olomorfe, della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue, della teoria degli spazi di Hilbert e della teoria delle distribuzioni di Laurent Schwartz.
L'introduzione a questi quattro (giganteschi) argomenti e la loro applicazione alle tematiche cui si è inizialmente accennato, costituisce lo scopo del corso.
La teoria delle funzioni olomorfe,
presentata solo nei suoi risultati più elementari, è l'ambiente ideale per comprendere a fondo le proprietà della trasformata di Laplace, della trasformata "zeta" e dei segnali con spettro limitato.La teoria dell'integrazione secondo Lebesgue
(introdotta "assiomaticamente", cioè senza soffermarsi sulla sua assai complessa costruzione rigorosa) fornisce gli strumenti essenziali per poter impostare e sviluppare in modo elegante e definitivo vari argomenti fondamentali, prima tra tutte la teoria delle serie e della trasformata di Fourier per le funzioni di quadrato sommabile e la decomposizione di un operatore differenziale nel sistema delle proprie autofunzioni. In quest'ambito, il linguaggio degli spazi di Hilbert fornisce un punto di vista unificante e permette, a prezzo di un po' di astrattezza, una notevole "economicità" di pensiero.La teoria delle distribuzioni
è l'ambiente ideale per superare le intrinseche (e fastidiose, nello svolgimento pratico dei calcoli) difficoltà delle nozioni classiche di derivazione, convergenza, trasformabilità, etc... e per impostare lo studio di alcune semplici equazioni alle derivate parziali. Lo spazio più ampio e naturale per operare con la trasformata di Fourier mantenendone tutte le preziose proprietà algebriche e differenziali, nonché la corrispondenza biunivoca tra "tempo e frequenza", è certamente costituito dalle distribuzioni temperate; queste permettono anche di unificare in una sola formulazione le teorie delle serie e della trasformata di Fourier. Finalmente, la nozione di convergenza distribuzionale, oltre ad essere estremamente comoda nello studio delle trasformazioni lineari, come la derivazione, le trasformate di Fourier e Laplace, la convoluzione, etc..., permette di studiare il comportamento asintotico di fenomeni impulsivi o fortemente oscillanti o generanti strati limite.I tre corsi del biennio di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II e Geometria sono essenziali per una buona comprensione di tutti gli argomenti sviluppati.
Programma del corso (cf. anche il programma dettagliato disponibile in vari formati dalla pagina precedente)
1. Integrale di Lebesgue.
2. Spazi funzionali vettoriali e trasformazioni lineari, spazi di Hilbert.
3. Serie di Fourier di una funzione periodica di quadrato sommabile; segnali discreti e DFT.
4. Trasformata di Fourier delle funzioni integrabili e di quadrato sommabile.
5. Introduzione all'Analisi Complessa.
6. Introduzione alla teoria delle distribuzioni.
7. Trasformata di Fourier per distribuzioni temperate; il caso delle distribuzioni periodiche.
8. La convoluzione.
9. Trasformata di Laplace per funzioni e distribuzioni.
10. Problemi di Dirichlet e di Neumann per l'equazione di Laplace, autovalori, autofunzioni.
Testi consigliati:
G. Gilardi - Analisi Tre - Mc Graw Hill, Milano, 1994.
M. Codegone - Metodi Matematici per l'Ingegneria - Zanichelli, Bologna, 1995.
Per ulteriori approfondimenti:
L. Schwartz - Méthodes mathèmatiques pour les sciences physiques - Hermann, Paris, 1979
W. Rudin - Analisi reale e complessa - Boringhieri, Torino, 1974
E. Roubine - Distributions Signal - ESE1, Ed. Eyrolles, Paris, 1982.