Prova scritta, 8 febbraio 1999.

Esercizio 1   [12 PUNTI] Sia $f\in \SS_T'$ una distribuzione T-periodica e sia $\lambda\in C$ un numero complesso assegnato. Si discuta l'esistenza e l'unicità di soluzioni $u\in\SS_T'$ dell'equazione

$$\frac d{dt}u-\lambda u=f$$

calcolandone i coefficienti di Fourier in funzione di quelli di f. Applicare il risultato al caso

$$f_1(t)=(\cos t)^2,\quad f_2(t)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}\delta(t-k),\quad\text{per }\lambda=i.$$

(*) Facoltativo Discutere la regolarità delle soluzioni trovate.

Esercizio 2   [12 PUNTI] Sia $f_\varepsilon(t):=\varepsilon^{-1}{\raise.3ex\hbox{$\chi$ }}_{(0,\varepsilon)}(t)$ e $u_\varepsilon$ la funzione regolare che risolve l'equazione

$$u_\varepsilon'(t)+2u_\varepsilon(t)-8\int_0^t u_\varepsilon(s)\,ds=f_\varepsilon(t),\quad u_\varepsilon(0)=0.$$

Posto $U_\varepsilon(t):=H(t)u_\varepsilon(t)$, si determini il limite

$$U_0(t)=\lim_{\varepsilon\downarrow0}U_\varepsilon(t)\quad \text{nel senso delle distribuzioni.}$$

Verificare infine che $U_\varepsilon=U_0*f_\varepsilon$.

Esercizio 3   [12 PUNTI] Indicando con $\mathop{\rm p.f.}\nolimits\frac{1}{\xi^2}$ la distribuzione

$$\mathop{\rm p.f.}\nolimits\frac1{\xi^2}:=-\frac d{d\xi}\left(\mathop{\rm v.p.}\nolimits\frac1\xi\right),$$

si calcoli la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni della variabile $t\in\Bbb{R}$:

$$\vert 2t-1\vert,\quad H(-t)(t-1/2),\quad H(t)t e^{-2\pi\varepsilon t}$$

precisando per quali valori di $\varepsilon\in\Bbb{C}$ ha senso la domanda. Finalmente, posto

$$f_\varepsilon(\xi):=\frac1{(\xi-i\varepsilon)^2},\quad\varepsilon>0,$$

si utilizzi l'ultimo risultato per calcolare il limite $\lim_{\varepsilon\downarrow0}f_\varepsilon(\xi)$ in $\mathscr{S}'(\Bbb{R})$.