Metodi Matematici per l'Ingegneria.     Prova scritta, 26 giugno 1998

Esercizio 1   [7 PUNTI] Sia $u_\varepsilon$, $\varepsilon>0$, la funzione definita da

$$u_\varepsilon(x)= \begin{cases} 1&\text{se $x$\space appart... ... qualche $n\in\Bbb{Z}$ }\\ 0&\text{altrimenti.} \end{cases}$$

Calcolare la trasformata di Fourier $\hat u_\varepsilon$ di $u_\varepsilon$. Calcolare poi il limite, per $\varepsilon\to0^+$, di $u_\varepsilon$ e di $\hat u_\varepsilon$ in $\mathscr{S}'(\Bbb{R})$.

Esercizio 2   [7 PUNTI] Sia $\{f_n\}_{n\in\Bbb{N}}$ la successione di funzioni reali definite da

$$f_n(x):= \begin{cases} \frac1x&\text{se }1\le x\le n,\\ 0&\text{altrimenti.} \end{cases}$$

Calcolare il limite puntuale

$$f(x):=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)$$

e precisare se la convergenza di f_n ad f sussiste anche in $L^1(\Bbb{R}), L^2(\Bbb{R}), L^\infty(\Bbb{R})$ e in $\mathscr{D}'(\Bbb{R})$. Posta poi $\hat f_n$ la trasformata di Fourier di f_n, dire se esiste in $L^2(\Bbb{R})$ il limite di $\hat f_n$ per $n\to +\infty$. Calcolare infine

$$\lim_{n\to+\infty}\Vert\hat f_n\Vert _{L^2(\Bbb{R})}.$$

Esercizio 3   [7 PUNTI] Per ogni $\alpha,\beta\in\Bbb{C}$ calcolare il prodotto di convoluzione

$$u_{\alpha,\beta}:=H(t) e^{\alpha t}* H(t)e^{\beta t}$$

Applicare il risultato ottenuto per determinare

$$v:=H(t)\sin t*H(t)\cos t.$$

Esercizio 4   [7 PUNTI] Calcolare i coefficienti $\{a_n\}_{n=0}^{+\infty},\ \{b_n\}_{n=1}^{+\infty}$ dello sviluppo di Fourier in serie di seni e coseni della funzione

$$u(t)=(\cos t)^+ \qquad\qquad\text{\small ($x^+$\space indica la parte positiva di $x$ .)}$$

Esercizio 5   [7 PUNTI] Sia u un segnale la cui trasformata di Fourier $\hat u$ ha supporto contenuto nell'intervallo [-a,a], a>0. Sapendo che u(k)=3k, $\forall\,k\in\Bbb{Z}$, indicare per quali valori di a è possibile ricostruire univocamente u e determinare u di conseguenza. Trovare infine un segnale v non nullo, la cui trasformata di Fourier abbia supporto limitato, tale che v(k)=0 per ogni $k\in\Bbb{Z}$.

Esercizio 6   [7 PUNTI] Calcolare la trasformata di Laplace dei seguenti segnali, precisando l'ascissa di convergenza:

$$u(t):= \begin{cases} \sin(t-\pi/4)&\text{se }t\ge\pi/4\\ ... ...\pi)&\text{se }t\ge\pi/4\\ 0&\text{altrimenti.} \end{cases}$$

Esercizio 7   [6 PUNTI] Calcolare le distribuzioni A^-1, B^-1, inverse rispetto al prodotto di convoluzione in $\mathscr{D}_+'(\Bbb{R})$, delle seguenti

$$A(t):=\delta'(t)+H(t),\quad B(t):=\delta(t)+2\omega H(t)\cos(\omega t).$$

Esercizio 8   [6 PUNTI] Calcolare l'integrale improprio

$$\int_0^{+\infty}\frac{x \sin x}{x^2+1}\,dx$$